初等代数是一个初等且相对简单形式的代数,教导对象为还没有数学和算术方面较深知识的中小学生,大学学习的则称为高等代数。当在算术中只有数字与其运算(如:加、减、乘、除)出现时,在代数中也会使用字母符号诸如
、
或
、
等表示数字,习惯上用前者表示未知数与变数,用后者表示任意的已知数。
初等代数中还会使用诸如
、
、
、
等映射符号来表示关于某个字母符号的代数式。
* 它使得算术等式(或不等式)可以被描述成命题或定理(如:
实数
和
,
),因此这是系统化学习实数性质的第一步。
- 它允许涉及未知的数字。在一个问题的内容里,变数或许代表某一还不确定,但可能可以经由方程的规划及操纵来解开的数值。
- 它允许探究数量之间的数学关系的可能(如“若你卖了
张票,你的收益将有
元”)。
这三个是初等代数的主要组成部份,以区隔其与目的为教导大学生更高深主题的抽象代数的不同。[原创研究?]
在初等代数里,表示式包含有数字、变数及运算。它们通常把较高次项(习惯上)写在表示左边(参考多项式),举几个例子来说:
![{\displaystyle x+3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b799ed61638e20ff904ab2b65a8564f4e27a1f)
![{\displaystyle y^{2}+2x-3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c5e525b5508a005e341ece9c7843e2dfb34bd5)
。
在更进阶的代数里,表示式也会包含有初等函数。
一个等式表示其等号两边的表示式是相等的。某些等式对于其中变数的所有取值都成立(如
);这种等式称为恒等式。而其他只有变数在某些值时才正确(如
),此一使等式成立的变数值则称为这等式的解。
与代数运算相关的定理 [1][编辑]
- 加法是一可交换的运算(两个数不论顺序为何,它加起来的总和都一样)。
- 减法是加法的逆运算。
- 减去一个数和加上一个此数的负数是一样意思的:
![{\displaystyle a-b=a+(-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f03e1ad2ad4d5dbbd763ad4c40a0d7bf250cd208)
- 例如:若
,则
。
- 乘法是一可交换的运算。
- 除法是乘法的逆运算。
- 除去一个数和乘上一个此数的倒数是一样意思的:
![{\displaystyle {a \over b}=a\cdot {1 \over b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fe159e318c308e6769bd5ec206c0208e7c7de46)
- 例如:若
,则
。
- 幂不是一可交换的运算。
- 但幂却有两个逆运算:对数 和 开方(如平方根)。
- 例如:若
,则
。
- 例如:若
,则
,即
,
。
- 负数的平方根不存在于实数内。(参考:复数)
- 加法的结合律性质:
。
- 乘法的结合律性质:
。
- 对应加法的乘法分配律性质:
。
- 对应乘法的幂分配律性质:
。
- 幂的乘法:
。
- 幂的幂:
。
与“等于”相关的定理[编辑]
(等于的自反性)。
- 若
,则
(等于的对称性)。
- 若
且
,则
(等于的递移律)。
- 若
,则
。
其他定理[编辑]
- 若
且
,则
。
- 若
,则对任一 c,
(等于的可加性)。
- 若
且
,则
=
。
- 若
,则对任一 c,
(等于的可乘性)。
- 若两个符号相等,则一个总是能替换另一个(替换原理)。
- 若
且
,则
(不等式的递移律)。
- 若
,则对任一 c,
。
- 若
且
,则
。
- 若
且
,则
。
一元一次方程[编辑]
最简单的方程为一元一次方程,它们是含有一个常数和一没有幂的变数。例如:
![{\displaystyle 2x+4=12.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/430b91b53091b5e3f9e77526f6eff73075550357)
其中心解法为在等式的两边同时以相同数字做加、减、乘、除,以使变数单独留在等式的一侧。一旦变数独立了,等式的另一边即是此变数的值。例如,将上面式子两边同时减去4:
,
简化后即为
![{\displaystyle 2x=8.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27d4a226d8d0f34b0510f9bc59c6a6e481da171a)
再同时除以2:
![{\displaystyle {\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c803f923e40f225580049943d071d023f0091c3f)
再简化后即为答案:
![{\displaystyle x=4.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56ba891acef28daed63d48796f1f872d6752f839)
一般的情形
![{\displaystyle ax+b=c}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08bf93625b100c9a4838fb52ddb9e65acfdb1234)
也可以依同样的方式得出答案来:
![{\displaystyle x={\frac {c-b}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8f1e0d24f24022000a106a0088ca9e9e6db538)
【这就是一元一次方程简单的说明】
一元二次方程[编辑]
一元二次方程可以表现成
,在这
不等于零(假如
等于零,则此方式为一次方程式,而非二次方程式)。二次方程式必须保持二次的形态,如
,二次方程式可以通过因式分解求解(多项式展开的逆过程),或者一般地使用二次方程求根公式。因式分解的举例:
![{\displaystyle x^{2}+3x=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c605746dce9bec4ff8b6f7d2b5cdc937baf2769)
这相当于
![{\displaystyle x(x+3)=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef4ed7a5d04b7c2e5fcc4abff74760d0f4eb5ee9)
0 和 -3 是它的解,因为把
置为 0 或 -3 便使上述等式成立。
所有二次方程式在复数体系中都有两个解,但是在实数系统中却不一定,例如:
![{\displaystyle x^{2}+1=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb11d514a79b211f2ea7f957bad72808c23696ff)
没有实数解,因为没有实数的平方是 -1。
有时一个二次方程式会有2重根,例如:
![{\displaystyle (x+1)^{2}=0.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b65ef32fe727ca792d8ae3395c5da6027e782f7)
在这个方程中,-1是2重根。
线性方程组[编辑]
在线性方程组内,如两个变数的方程组内有两个方程式的话,通常可以找出可同时满足两个方程式的两个变数。
下面为线性方程组的一个例子,有两个求解的方法:
![{\displaystyle 4x+2y=14\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1c1a2de1b9c8a2a44c20531860fd5c80f97390)
![{\displaystyle 2x-y=1.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ae159a28a6acef080944435aa2ac31618bfec5)
求解的第一种方法[编辑]
将第2个等式的左右项各乘以2,
![{\displaystyle 4x+2y=14\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1c1a2de1b9c8a2a44c20531860fd5c80f97390)
![{\displaystyle 4x-2y=2.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f57ff6ef4912e94c4b2aa0f1d1edcf651f34b732)
再将两式相加,
![{\displaystyle \,8x=16,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1c3cb8ccf7fbe9451b0d486cb0bda6f2b690545)
上式可化简为
![{\displaystyle x=2.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bb9352a9d460eae86b8908af8f0d1e330f3fe64)
因为已知
,于是就可以由两式中的任意一个推断出
。所以这个问题的完整解为
![{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6374cae9987d433efc60d4f85311a96d4e74ec96)
注意:这并不是解这类特殊情况的唯一方法;
也可以在
之前求得。
求解的第二种方法[编辑]
另一种求解的方法为替代。
![{\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31ca6c12b4bc80c0e9e9b497fb136f045f0be475)
的等值可以由两个方程式中的其中一种推出。我们使用第二个方程:
![{\displaystyle 2x-y=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904182e91c5cd2b2fd9de6c456b5f195671f15ce)
由方程的两边减去
:
![{\displaystyle 2x-2x-y=1-2x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f18c3ec1ce28fdc4b38f6efb8c67f1764dff3dd)
![{\displaystyle -y=1-2x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7096046c4ceaa071e8d8cdfb8fb573042d4483d9)
再乘上 -1:
![{\displaystyle y=2x-1.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a09a56386a6edfa099093c34a6a98d032a77653)
将此
值放入原方程组的第一个方程式:
![{\displaystyle 4x+2(2x-1)=14\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d40184db1f038b14f33ccaec8656c9a90e76979)
![{\displaystyle 4x+4x-2=14\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02de152790e8cb2b24ea8c694622ab7a073a704f)
![{\displaystyle 8x-2=14\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26d72dd4cb746582240cba479b6c433c98e85f41)
在方程的两端加上 2:
![{\displaystyle 8x-2+2=14+2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1912710d52b397b8c5ed33ab4a4c592912dc203)
![{\displaystyle 8x=16\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8b5dcca4c7d0a5bfa516d8e865a35cdc5a2c96)
此可简化成
。
将此值代回两个方程式中的一个,可求得和上一个方法所求得的相同解答。
![{\displaystyle {\begin{cases}x=2\\y=3.\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6374cae9987d433efc60d4f85311a96d4e74ec96)
注意:这并不是解这类特殊情况的唯一方法;在这个方法里也是一样的,
也可以在
之前求得。
- ^ Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1.